Nombres relatifs
Septembre , 2018
Si f est une fonction continue sur un intervalle borné, l'image par f de l'intervalle fermé borné est un intervalle fermé borné
Soit f une fonction continue sur [a,b], dérivable sur ]a;b[ telle que f(a) = f(b). Il existe c appartient à ]a,b[ telle que f'(c) = 0.
Soit f une fonction continue sur le segment [a,b], dérivable sur ]a,b[. Alors, il existe un réel c de ]a,b[ tel que : f(b) - f(a) = (b - a)f'(c)
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un point de I. On dit que f est dérivable en a lorsque le taux d'accroissement de f en a admet une limite finie L en a, f'(a).
Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I et a et b des points de I (a plus petit que b). Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe un réel c compris entre a et b tel que f(c) = k.
Soit f une fonction continue strictement monotone sur [a;b]. Alors, pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l'équation f(x) = k a une solution unique dans [a;b].
Soit f une fonction définie sur un intervalle contenant a. On dit que f est continue en a si f a une limite en a et cette limite est nécessairement f(a).
On dit que f est continue sur un intervalle I si elle est continue en tout point de I.
Soit f une fonction continue, strictement monotone de l'intervalle I sur l'intervalle J=f(I) et soit x0 appartient à I. Si f est dérivable en x0 alors : - si f'(x0) différent de 0 : f-1 est dérivable au point y0 = f(x0) et (f-1)'(y0) = 1÷(f'(x0)) - si f'(x0) = 0 : f-1 n'est pas dérivable au point y0 = f(x0).
La fonction f est dite négligeable devant la la fonction g au voisinage de a, si il existe un intervalle ouvert Ia de centre a, et une fonction E définie sur Ia tels que: Pour tout x appartenant à l'intersection de I et Ia, f(x) = E(x)g(x) avec limite lorsque x tend vers a de E(x)=0. On note alors f = o(g) et on dit que g est prépondérante devant f.
La fonction f est équivalente à g au voisinage de a s'il existe un intervalle ouvert Ia de centre a, et une fonction Alfa définie sur Ia tels que : Pour tout x appartenant à l'intersection de I et Ia, f(x) = Alfa(x)g(x) avec limite lorsque x tend vers a de Alfa(x)=1.
On désigne par I et J des intervalles. F: I dans J est une bijection signifie : Pour tout y de J, l'équation f(x) = y a une unique solution dans I. On note f-1 la fonction de J dans I, qui à y de J associe la solution de l'équation f(x) = y. ( f(x) = y et x appartient à I ) équivaut à ( f-1(y) = x et y appartient à J).
Si u est fonction dérivable sur un intervalle I, et g une fonction dérivable sur un intervalle J tel que, pour tout réel x de I, u(x) appartient à J, alors la fonction composée de g o u est dérivable sur I et : (g o u)'(x) = g'(u(x)) * u'(x).
a, b, c désignent des réels ou +∞ ou -∞. Si limite lorsque x tend vers a de f(x) = b et limite lorsque y tend vers b de g(y) = c alors limite lorsque x tend vers a de g o f(x) = c.
Si, pour x assez grand, on a l'encadrement de f(x) est plus petit ou égale à u(x) et f(x) est plus grand ou égale à v(x) et si u et v ont la même limite finie L en +∞, alors la limite lorsque x tend vers +∞ de f(x) est L
Soint OAA' et OBB' deux triangles non aplatis. Si A appartient a (OB) et A' appartient a (OB\’) et (AA') et (BB') sont parallèles alors: OA÷OB = OA'÷OB' = AA'÷BB'.
Si trois droites strictement parallèles coupent deux droites D et D' respectivement en A, B, C et A', B' et C', alors AB÷AC = A'B'÷A'C'.
Soient deux sécantes D et D', trois points A, B, C sur D et trois points A', B' et C' sur D'. On suppose que ces six points sont distincts entre eux deux à deux. Si (AA') est parallèles à (BB') et si AB÷AC = A'B'÷A'C', alors les droites (AA'), (BB') et (CC') sont parallèles.
Un anneau est intègre s'il est commutatif et sans diviseurs de zéro et l'on dit qu'un anneau est sans diviseur de zéro s'il vérifie: pour tout a, b appartient de A, ab = 0 implique que a = 0 ou b = 0
L'application f de A dans B doit vérifier: 1) Pour tout x, y de A f(x + y) = f(x) + f(y). 2) Pour tout x, y de A f(x . y) = f(x) . f(y). 3) f(1A) = f(1B).
|a + b| ≤ |a| + |b|
Re(z) ≤ |z|
|z|^2
Un anneau (A,+,.) est un ensemble A muni de deux lois internes + et .
La somme de k = 0 à n de k parmi n de a^k b^(n-k)
(b - a)(b^(n-1)a^0 + ... + b^0a^(n-1)
Un corps commutatif est un anneau intègre.
L'anneau z est un anneau qui n'a pas la structure d'un corps
Une matrice M est inversible si il existe une matrice N telle que MN = NM = I2, N est unique et N = M^(-1)
(A inversible et A^-1 est à coéfficient dans Z) implique que (det A = +1 ou -1)
det(A) fois det(B) égale à det(AB)
Si E et F sont deux espaces vectoriels de dimension finie, si f est une application linéaire qui va de E dans F, alors : dim(E) = rg(f) + dim(ker(f)) = dim(im(f)) + dim(ker(f))
Une matrice carré est inversible si et seulement si son déterminant est différent de 0. Et, A^-1 = 1÷det(A) fois tcom(A) multiplié par (-1)^(i+j)
P(X) = anXn + ... + a0 = ∑k=0 à n akXk.
P(X) + Q(X) = ∑k=0 à n (ak + bk)Xk avec Q(X) = ∑k=0 à n bkXk.
µP(X) = ∑k=0 à n µakXk.
P(X) x Q(X) = ∑k=0 à n+m (∑i+j=kaibj)Xk
Il y a une énorme différence : un polynôme est un objet formel, ou suite d'éléments qui s'annule à partir d'un certain rang. Une fonction est définie par un ensemble de départ, un ensemble d'arrivée, et une maniére d'associer à un élément de l'ensemble de départ au plus un élément de l'ensemble d'arrivée.
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